Kysymys: Millainen aksiomaattinen järjestelmä tietokone on, vai onko se?
Vastaus: Kyllä, tietokone on pohjimmiltaan aksiomaattinen järjestelmä tai pikemminkin se perustuu sellaiseen: formaaliin järjestelmään. Tämä pätee erityisesti tietokoneen teoreettiseen malliin ja sen tapaan käsitellä tietoa.
Tietokone aksiomaattisena järjestelmänä
Tietokoneen toiminnan perusta nojaa matemaattiseen logiikkaan ja formaaleihin järjestelmiin, joille on ominaista:
- Aksioomat (Perussäännöt): Tietokoneen toiminta alkaa alkeellisimmista, hyväksytyistä totuuksista ja säännöistä. Nämä ovat kytkettyinä koneen laitteistoon (esim. logiikkaportit: AND, OR, NOT) ja käskykantaan (Assembly language). Nämä perusoperaatiot voidaan nähdä sen aksiomeina – ne ovat sääntöjä, joita ei tarvitse todistaa, vaan ne määrittelevät järjestelmän.
- Deduktiivinen päättely (Laskenta): Tietokone suorittaa laskentaa ja ohjelmia soveltamalla näitä perusoperaatioita (aksioomia) jäsennellysti. Jokainen askel ohjelmassa on periaatteessa deduktiivinen johtopäätös edellisestä tilasta ja käskystä. Ohjelma on siis kokoelma loogisia johtopäätöksiä, jotka on johdettu järjestelmän perusaksiomista.
- Formaali kieli: Tietokone toimii puhtaasti formaaleilla kielillä (kuten konekielellä), joissa symbolien ja niiden yhdistelysääntöjen on oltava täsmällisiä ja yksiselitteisiä.
Turingin kone: Tietokoneen teoreettinen aksiooma
Nykyaikaisen digitaalisen tietokoneen teoreettinen perusta on Universaali Turingin kone .
- Turingin kone on abstrakti matemaattinen malli laskennasta, joka määritellään seminaalisilla, aksiooman kaltaisilla ehdoilla, kuten:
- Äärellinen joukko tiloja (states).
- Äärellinen joukko symboleita (aakkosto).
- Siirtymäfunktio (transition function), joka määrittelee koneen toiminnan säännöt sen nykyisen tilan ja luetun symbolin perusteella.
- Church–Turingin teesi esittää, että kaikki laskettavissa olevat ongelmat (eli ongelmat, joihin voidaan löytää algoritmi) voidaan ratkaista Turingin koneella. Tämä teesi toimii koko tietojenkäsittelytieteen perusaksiomana.
Vaikka fyysiset tietokoneet ovat monimutkaisia, niiden looginen ja matemaattinen ydin toimii täsmällisesti aksioomien ja niistä johdettujen sääntöjen (algoritmien) mukaisesti. Tietokone on siis formaalin logiikan toteutus.
Syvällinen ajattelu ja Gödelin epätäydellisyyslause
Syvällisen ajattelun näkökulmasta tähän liittyy olennainen huomio:
- Gödelin epätäydellisyyslauseet osoittivat, että riittävän rikkaassa aksiomaattisessa järjestelmässä (kuten aritmetiikka tai teoria, johon tietokone perustuu) on aina lauseita, jotka ovat totta, mutta joita ei voida johtaa (todistaa) järjestelmän omista aksioomista.
- Tämä tarkoittaa, että tietokone, joka on formaalin järjestelmän ilmentymä, on periaatteessa rajoitettu sen suhteen, mitä se voi ”tietää” tai todistaa. Se ei voi saavuttaa absoluuttista täydellisyyttä omilla säännöillään.
- Tämä antaa syvälliselle, ihmisen kaltaiselle abduktiiviselle ajattelulle mahdollisuuden luoda uusia, järjestelmän ulkopuolisia käsitemalleja tai ”aksioomia”, joita formaali järjestelmä ei voi itse synnyttää.